Primeiro Exercício Sobre Método de Gauss Jordan

1) Resolva Usando o Método de Gauss Jordan

a)

b)

 

 c)

O Método de Gauss Jordan

O método de eliminação de Gauss Jordan

Este é outro método para resolução de sistemas, este é um método mais trabalhoso que deve ser cuidadosamente organizado pra que se chegue a um resultado correto.

O método consiste em primeiro, representar o sistema em questão por uma matriz expandida composta de uma matriz quadrada com os valores numéricos do sistema e adicionada uma matriz contendo os termos independentes.

Ai tenta-se por operações de soma entre as linhas ou multiplicação por escalar transformar a matriz quadrada em matriz identidade, assim que se consegue isso, a linha adicional que representavam os termos independentes agora traz os valores das incógnitas que são solução para o sistema.
Obs: o numero de incógnitas do sistemas deve ser menor ou igual a quantidade de equações.

Exemplo:

Considere o sistema :

Representando como matriz aumentada, as 3 primeiras colunas representam os valores numéricos do sistema e a quarta os termos independentes: 

  

Após a formação da matriz temos que transformar a matriz principal em matriz identidade, com somas ou subestações entre linhas e/ou multiplicações e divisões por escalar , reescrevendo a nova matriz e repetindo o processo até chegar na matriz desejada. Sendo feita da seguinte maneira:

L2= L2-L1= 0 1 0 -2

L3= L3-L1(2)= 0 0 -1 -8

L3(-1)= 0 0 1 8

 

L1= L1-L3-L2= 1 0 0 -1

Após a obtenção da matriz identidade temos que transformar a mesma em sistema linear novamente:

Após representarmos o novo sistema, obtemos o seguinte resultado:

X=-1

Y=-2

Z=8

Video Aula- Gauss Jordan

Video Aula- Cramer

Primeiro exercício sobre Método de Cramer

01. Resolver os sistemas abaixo pela Regra de Cramer.

a)


b)


c)

O método de Cramer :

Este é um método relativamente fácil para resolução de sistemas que pode ser aplicado em sistemas cujo numero de incógnitas seja o mesmo de equações. 

O método consiste primeiramente em representar o sistema por uma matriz Anxn (apresentando apenas os coeficientes numéricos) e usando das propriedades destas encontrar seu determinante, depois criar novas matrizes oriundas da substituição de uma coluna da matriz A pelos termos independentes da função que serão as matrizes A1 A2 ... An  e descobrir seus determinantes, ai efetuam-se  divisão onde det de A é o numerador e o det das matrizes criadas são os numeradores. O resultado de cada divisão nos dá o valor de uma incógnita:

det A1/ det A = primeira incógnita 

det A2/ det A = segunda incógnita

.              

.

. 

det An/ det A = enésima incógnita 

Ps: o sistema só terá solução se o det de A for diferente de zero

Exemplo resolvido:

Considere o sistema:  

Primeiramente devemos representar o sistema o qual se quer resolver em foma de matrizes:

A partir dai encontra-se o determinante da matriz A 3x3:

usando o método de Sarrus:

Agora constroem-se novas matrizes substituindo em cada uma delas uma linha pela matriz que representa a resposta do sistema:

 

Assim temos 3 novas matrizes:

Encontra-se o determinante de cada uma das matrizes

Dividindo o determinante de cada uma dessas matrizes pelo determinante da matriz original obtemos os valores de  x, y e z:

Det de A1 / det de A =  1/(-1)                   x =  ( -1)

Det de A2 / det de A = -3/(-1)                  y  =    3

Det de A3 / det de A =  1/(-1)                  z  =   (-1)